Selesaikan {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=4$$

Tambahkan y ke kedua sisi persamaan.

$$2x=y+4$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Ganti \frac{y}{2}+2 untuk x di persamaan lain, 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Kalikan 4 kali \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Tambahkan 2y sampai 3y.

$$5y+8=3$$

Kurangi 8 dari kedua sisi persamaan.

$$5y=-5$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam x=\frac{1}{2}y+2. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Tambahkan 2 sampai -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Sederhanakan.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Kurangi 8x+6y=6 dari 8x-4y=16 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Tambahkan 8x sampai -8x. Suku 8x dan -8x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-4y-6y=16-6$$

Tambahkan -4y sampai -6y.

$$-10y=16-6$$

Tambahkan 16 sampai -6.

$$-10y=10$$

Bagi kedua sisi dengan -10.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam 4x+3y=3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Kalikan 3 kali -1.

$$4x-3=3$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi persamaan.

$$4x=6$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$