Selesaikan ∫ 5x(3x+6)^3 wrt x=?

$$\int 5 x ( 3 x + 6 ) ^ { 3 } d x = ?$$

Evaluasi

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+540x^{3}+540x^{2}+С$$

Langkah Solusi

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} untuk menjabarkan \left(3x+6\right)^{3}.

$$\int 5x\left(27x^{3}+162x^{2}+324x+216\right)\mathrm{d}x$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 5x dengan 27x^{3}+162x^{2}+324x+216.

$$\int 135x^{4}+810x^{3}+1620x^{2}+1080x\mathrm{d}x$$

Integrasikan jumlah suku demi suku.

$$\int 135x^{4}\mathrm{d}x+\int 810x^{3}\mathrm{d}x+\int 1620x^{2}\mathrm{d}x+\int 1080x\mathrm{d}x$$

Faktorkan konstanta pada setiap suku.

$$135\int x^{4}\mathrm{d}x+810\int x^{3}\mathrm{d}x+1620\int x^{2}\mathrm{d}x+1080\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{4}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{5}}{5}. Kalikan 135 kali \frac{x^{5}}{5}.

$$27x^{5}+810\int x^{3}\mathrm{d}x+1620\int x^{2}\mathrm{d}x+1080\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}. Kalikan 810 kali \frac{x^{4}}{4}.

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+1620\int x^{2}\mathrm{d}x+1080\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Kalikan 1620 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+540x^{3}+1080\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}. Kalikan 1080 kali \frac{x^{2}}{2}.

$$27x^{5}+\frac{405x^{4}}{2}+540x^{3}+540x^{2}$$

Jika F\left(x\right) adalah antiderivatif f\left(x\right), maka kumpulan semua antiderivatives f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Dengan demikian, tambahkan konstanta integrasi C\in \mathrm{R} ke hasil.

$$540x^{2}+540x^{3}+\frac{405x^{4}}{2}+27x^{5}+С$$

Diferensial w.r.t. x

$$135x\left(x+2\right)^{3}$$