Selesaikan frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Cari nilai b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Langkah Penyelesaian Persamaan Radikal

Rasionalkan penyebut dari \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Sederhanakan \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Perkalian dapat diubah menjadi bentuk selisih dua kuadrat menggunakan aturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

2 kuadrat. \sqrt{5} kuadrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kurangi 5 dari 4 untuk mendapatkan -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kalikan 2+\sqrt{5} dan 2+\sqrt{5} untuk mendapatkan \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kuadrat \sqrt{5} adalah 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Tambahkan 4 dan 5 untuk mendapatkan 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Bilangan apa pun yang dibagi dengan -1 menghasilkan bilangan kebalikannya. Untuk menemukan kebalikan dari 9+4\sqrt{5}, temukan kebalikan setiap suku.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Rasionalkan penyebut dari \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Sederhanakan \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Perkalian dapat diubah menjadi bentuk selisih dua kuadrat menggunakan aturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

2 kuadrat. \sqrt{5} kuadrat.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Kurangi 5 dari 4 untuk mendapatkan -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kalikan 2-\sqrt{5} dan 2-\sqrt{5} untuk mendapatkan \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Gunakan teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kuadrat \sqrt{5} adalah 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Tambahkan 4 dan 5 untuk mendapatkan 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Bilangan apa pun yang dibagi dengan -1 menghasilkan bilangan kebalikannya. Untuk menemukan kebalikan dari 9-4\sqrt{5}, temukan kebalikan setiap suku.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Kurangi 9 dari -9 untuk mendapatkan -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Gabungkan -4\sqrt{5} dan 4\sqrt{5} untuk mendapatkan 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Tukarkan sisi sehingga semua suku variabel ada di sisi kiri.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Kurangi a dari kedua sisi.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Membagi dengan 5 membatalkan perkalian dengan 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Cari nilai a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$