Selesaikan frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Evaluasi

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Langkah Solusi

Rasionalkan penyebut dari \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Sederhanakan \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Perkalian dapat diubah menjadi bentuk selisih dua kuadrat menggunakan aturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

2 kuadrat. \sqrt{3} kuadrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Kurangi 3 dari 4 untuk mendapatkan 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Bilangan apa pun dapat dibagi menggunakan bilangan itu sendiri.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Kalikan 2+\sqrt{3} dan 2+\sqrt{3} untuk mendapatkan \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Rasionalkan penyebut dari \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Sederhanakan \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Perkalian dapat diubah menjadi bentuk selisih dua kuadrat menggunakan aturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

2 kuadrat. \sqrt{3} kuadrat.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Kurangi 3 dari 4 untuk mendapatkan 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Bilangan apa pun dapat dibagi menggunakan bilangan itu sendiri.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Kalikan 2-\sqrt{3} dan 2-\sqrt{3} untuk mendapatkan \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kuadrat \sqrt{3} adalah 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Tambahkan 4 dan 3 untuk mendapatkan 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Gunakan teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Kuadrat \sqrt{3} adalah 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Tambahkan 4 dan 3 untuk mendapatkan 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Untuk menemukan kebalikan dari 7-4\sqrt{3}, temukan kebalikan setiap suku.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Kebalikan -4\sqrt{3} adalah 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Kurangi 7 dari 7 untuk mendapatkan 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Gabungkan 4\sqrt{3} dan 4\sqrt{3} untuk mendapatkan 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$