Selesaikan x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Cari nilai x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 21, kelipatan perkalian terkecil dari 7,3.

$$3x+7y=105$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 14.

$$-x+42y=364$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$3x+7y=105$$

Kurangi 7y dari kedua sisi persamaan.

$$3x=-7y+105$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Kalikan \frac{1}{3} kali -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Ganti -\frac{7y}{3}+35 untuk x di persamaan lain, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Kalikan -1 kali -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Tambahkan \frac{7y}{3} sampai 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Tambahkan 35 ke kedua sisi persamaan.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{133}{3}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=9$$

Ganti 9 untuk y dalam x=-\frac{7}{3}y+35. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Kalikan -\frac{7}{3} kali 9.

$$x=-21+35$$

Tambahkan 35 sampai -21.

$$x=14$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=14,y=9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 21, kelipatan perkalian terkecil dari 7,3.

$$3x+7y=105$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 14.

$$-x+42y=364$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=14,y=9$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 21, kelipatan perkalian terkecil dari 7,3.

$$3x+7y=105$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 14.

$$-x+42y=364$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Untuk menjadikan 3x dan -x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Sederhanakan.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Kurangi -3x+126y=1092 dari -3x-7y=-105 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Tambahkan -3x sampai 3x. Suku -3x dan 3x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Tambahkan -7y sampai -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Tambahkan -105 sampai -1092.

$$-133y=-1197$$

Bagi kedua sisi dengan -133.

$$y=9$$

Ganti 9 untuk y dalam -x+42y=364. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-x+42\times 9=364$$

Kalikan 42 kali 9.

$$-x+378=364$$

Kurangi 378 dari kedua sisi persamaan.

$$-x=-14$$

Bagi kedua sisi dengan -1.

$$x=14$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=14,y=9$$