Selesaikan f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Cari nilai f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 33, kelipatan perkalian terkecil dari 11,33.

$$3f=g$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Ganti \frac{g}{3} untuk f di persamaan lain, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Tambahkan \frac{g}{3} sampai g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{4}{3}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$g=30$$

Ganti 30 untuk g dalam f=\frac{1}{3}g. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan f secara langsung.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Kalikan \frac{1}{3} kali 30.

$$f=10$$

Sistem kini terselesaikan.

$$f=10,g=30$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 33, kelipatan perkalian terkecil dari 11,33.

$$3f=g$$

Kurangi g dari kedua sisi.

$$3f-g=0$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks f dan g.

$$f=10,g=30$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 33, kelipatan perkalian terkecil dari 11,33.

$$3f=g$$

Kurangi g dari kedua sisi.

$$3f-g=0$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Untuk menjadikan 3f dan f yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Sederhanakan.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Kurangi 3f+3g=120 dari 3f-g=0 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Tambahkan 3f sampai -3f. Istilah 3f dan -3f dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-g-3g=-120$$

Tambahkan -g sampai -3g.

$$-4g=-120$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$g=30$$

Ganti 30 untuk g dalam f+g=40. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan f secara langsung.

$$f+30=40$$

Kurangi 30 dari kedua sisi persamaan.

$$f=10$$

Sistem kini terselesaikan.

$$f=10,g=30$$