Selesaikan 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Cari nilai x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 2.

$$3x+2y=22$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 2.

$$2x+y=14$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=22$$

Kurangi 2y dari kedua sisi persamaan.

$$3x=-2y+22$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Kalikan \frac{1}{3} kali -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Ganti \frac{-2y+22}{3} untuk x di persamaan lain, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Kalikan 2 kali \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} sampai y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Kurangi \frac{44}{3} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Kalikan kedua sisi dengan -3.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Kalikan -\frac{2}{3} kali 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Tambahkan \frac{22}{3} ke -\frac{4}{3} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 2.

$$3x+2y=22$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 2.

$$2x+y=14$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=6,y=2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 2.

$$3x+2y=22$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 2.

$$2x+y=14$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 2 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Sederhanakan.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Kurangi 6x+3y=42 dari 6x+4y=44 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Tambahkan 6x sampai -6x. Istilah 6x dan -6x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$4y-3y=44-42$$

Tambahkan 4y sampai -3y.

$$y=44-42$$

Tambahkan 44 sampai -42.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam 2x+y=14. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$2x+2=14$$

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan.

$$2x=12$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=2$$