Լուծեք z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Լուծել z-ի համար

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Փոխարինեք t-ը z^{3}-ով:

$$t^{2}-t+1=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -1-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Լուծեք t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Քանի որ z=t^{3}, լուծումները ստացվում են լուծելով հավասարումը յուրաքանչյուր t-ի համար։

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$