Լուծեք z^2+6z+4=0

$$z ^ { 2 } + 6 z + 4 = 0$$

Լուծել z-ի համար (complex solution)

$$z=\sqrt{5}-3\approx -0.763932023$$

$$z=-\left(\sqrt{5}+3\right)\approx -5.236067977$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$z^{2}+6z+4=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 6-ը b-ով և 4-ը c-ով:

$$z=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2}$$

6-ի քառակուսի:

$$z=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$z=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2}$$

Գումարեք 36 -16-ին:

$$z=\frac{-6±\sqrt{20}}{2}$$

Հանեք 20-ի քառակուսի արմատը:

$$z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}$$

Այժմ լուծել z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -6 2\sqrt{5}-ին:

$$z=\frac{2\sqrt{5}-6}{2}$$

Բաժանեք -6+2\sqrt{5}-ը 2-ի վրա:

$$z=\sqrt{5}-3$$

Այժմ լուծել z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{5} -6-ից:

$$z=\frac{-2\sqrt{5}-6}{2}$$

Բաժանեք -6-2\sqrt{5}-ը 2-ի վրա:

$$z=-\sqrt{5}-3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$z=\sqrt{5}-3 z=-\sqrt{5}-3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$z^{2}+6z+4=0$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$z^{2}+6z+4-4=-4$$

Հանելով 4 իրենից՝ մնում է 0:

$$z^{2}+6z=-4$$

Բաժանեք 6-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք 3-ը: Ապա գումարեք 3-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$z^{2}+6z+3^{2}=-4+3^{2}$$

3-ի քառակուսի:

$$z^{2}+6z+9=-4+9$$

Գումարեք -4 9-ին:

$$z^{2}+6z+9=5$$

Գործոն z^{2}+6z+9: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(z+3\right)^{2}=5$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(z+3\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Պարզեցնել:

$$z+3=\sqrt{5} z+3=-\sqrt{5}$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$z=\sqrt{5}-3 z=-\sqrt{5}-3$$

Լուծել z-ի համար

$$z=\sqrt{5}-3\approx -0.763932023$$

$$z=-\sqrt{5}-3\approx -5.236067977$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$z^{2}+6z+4=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 6-ը b-ով և 4-ը c-ով:

$$z=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2}$$

6-ի քառակուսի:

$$z=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$z=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2}$$

Գումարեք 36 -16-ին:

$$z=\frac{-6±\sqrt{20}}{2}$$

Հանեք 20-ի քառակուսի արմատը:

$$z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}$$

Այժմ լուծել z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -6 2\sqrt{5}-ին:

$$z=\frac{2\sqrt{5}-6}{2}$$

Բաժանեք -6+2\sqrt{5}-ը 2-ի վրա:

$$z=\sqrt{5}-3$$

Այժմ լուծել z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{5} -6-ից:

$$z=\frac{-2\sqrt{5}-6}{2}$$

Բաժանեք -6-2\sqrt{5}-ը 2-ի վրա:

$$z=-\sqrt{5}-3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$z=\sqrt{5}-3 z=-\sqrt{5}-3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$z^{2}+6z+4=0$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$z^{2}+6z+4-4=-4$$

Հանելով 4 իրենից՝ մնում է 0:

$$z^{2}+6z=-4$$

Բաժանեք 6-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք 3-ը: Ապա գումարեք 3-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$z^{2}+6z+3^{2}=-4+3^{2}$$

3-ի քառակուսի:

$$z^{2}+6z+9=-4+9$$

Գումարեք -4 9-ին:

$$z^{2}+6z+9=5$$

Գործոն z^{2}+6z+9: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(z+3\right)^{2}=5$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(z+3\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Պարզեցնել:

$$z+3=\sqrt{5} z+3=-\sqrt{5}$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$z=\sqrt{5}-3 z=-\sqrt{5}-3$$