Լուծեք z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Լուծել z-ի համար

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3.31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3.31662479i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2z+5-ը z+6-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Հանեք 2z^{2} երկու կողմերից:

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Համակցեք z^{2} և -2z^{2} և ստացեք -z^{2}:

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Հանեք 17z երկու կողմերից:

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Համակցեք 3z և -17z և ստացեք -14z:

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Հանեք 30 երկու կողմերից:

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Հանեք 30 -30-ից և ստացեք -60:

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -1-ը a-ով, -14-ը b-ով և -60-ը c-ով:

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-14-ի քառակուսի:

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -60:

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Գումարեք 196 -240-ին:

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Հանեք -44-ի քառակուսի արմատը:

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

-14 թվի հակադրությունը 14 է:

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Այժմ լուծել z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 14 2i\sqrt{11}-ին:

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Բաժանեք 14+2i\sqrt{11}-ը -2-ի վրա:

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Այժմ լուծել z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2i\sqrt{11} 14-ից:

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

Բաժանեք 14-2i\sqrt{11}-ը -2-ի վրա:

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2z+5-ը z+6-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Հանեք 2z^{2} երկու կողմերից:

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Համակցեք z^{2} և -2z^{2} և ստացեք -z^{2}:

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Հանեք 17z երկու կողմերից:

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Համակցեք 3z և -17z և ստացեք -14z:

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Հավելել 30-ը երկու կողմերում:

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Գումարեք 30 և 30 և ստացեք 60:

$$-z^{2}-14z=60$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

Բաժանելով -1-ի՝ հետարկվում է -1-ով բազմապատկումը:

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

Բաժանեք -14-ը -1-ի վրա:

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

Բաժանեք 60-ը -1-ի վրա:

$$z^{2}+14z=-60$$

Բաժանեք 14-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք 7-ը: Ապա գումարեք 7-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

7-ի քառակուսի:

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Գումարեք -60 49-ին:

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Գործոն z^{2}+14z+49: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Պարզեցնել:

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$