Լուծեք y=5x-43text{and}3x+5y=9

$$y = 5 x - 43 \text { and } 3 x + 5 y = 9$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=8$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=-43$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-5x=-43$$

Գումարեք 5x հավասարման երկու կողմին:

$$y=5x-43$$

Փոխարինեք 5x-43-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5y+3x=9:

$$5\left(5x-43\right)+3x=9$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 5x-43:

$$25x-215+3x=9$$

Գումարեք 25x 3x-ին:

$$28x-215=9$$

Գումարեք 215 հավասարման երկու կողմին:

$$28x=224$$

Բաժանեք երկու կողմերը 28-ի:

$$x=8$$

Փոխարինեք 8-ը x-ով y=5x-43-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=5\times 8-43$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 8:

$$y=40-43$$

Գումարեք -43 40-ին:

$$y=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-3,x=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=-43$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}&\frac{5}{28}\\-\frac{5}{28}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}\left(-43\right)+\frac{5}{28}\times 9\\-\frac{5}{28}\left(-43\right)+\frac{1}{28}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-3,x=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=-43$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

y-ը և 5y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$5y+5\left(-5\right)x=5\left(-43\right),5y+3x=9$$

Պարզեցնել:

$$5y-25x=-215,5y+3x=9$$

Հանեք 5y+3x=9 5y-25x=-215-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5y-5y-25x-3x=-215-9$$

Գումարեք 5y -5y-ին: 5y-ը և -5y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-25x-3x=-215-9$$

Գումարեք -25x -3x-ին:

$$-28x=-215-9$$

Գումարեք -215 -9-ին:

$$-28x=-224$$

Բաժանեք երկու կողմերը -28-ի:

$$x=8$$

Փոխարինեք 8-ը x-ով 5y+3x=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$5y+3\times 8=9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 8:

$$5y+24=9$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-3,x=8$$