Լուծեք x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-6$$

$$x=7$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 42 երկու կողմերից:

$$x^{2}-x-42=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-x-42-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=-42$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -42 է։

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -1 գումար։

$$a=-7 b=6$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x+6=0-ն։

$$x=7 x=-6$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 42 երկու կողմերից:

$$x^{2}-x-42=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-42։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -42 է։

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -1 գումար։

$$a=-7 b=6$$

Նորից գրեք x^{2}-x-42-ը \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 6-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x+6=0-ն։

$$x=7 x=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-x=42$$

Հանեք 42 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-x-42=42-42$$

Հանելով 42 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-x-42=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -1-ը b-ով և -42-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -42:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

Գումարեք 1 168-ին:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Հանեք 169-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

-1 թվի հակադրությունը 1 է:

$$x=\frac{1±13}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{1±13}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 1 13-ին:

$$x=\frac{14}{2}$$

Բաժանեք 14-ը 2-ի վրա:

$$x=7$$

Այժմ լուծել x=\frac{1±13}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 13 1-ից:

$$x=-\frac{12}{2}$$

Բաժանեք -12-ը 2-ի վրա:

$$x=-6$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=7 x=-6$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-x=42$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 42 \frac{1}{4}-ին:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Գործոն x^{2}-x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=7 x=-6$$