Լուծեք x^2-8x+15=0

$$x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=3$$

$$x=5$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-8x+15-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-8 ab=15$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 15 է։

$$-1,-15 -3,-5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -8 գումար։

$$a=-5 b=-3$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-5=0-ն և x-3=0-ն։

$$x=5 x=3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+15։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 15 է։

$$-1,-15 -3,-5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -8 գումար։

$$a=-5 b=-3$$

Նորից գրեք x^{2}-8x+15-ը \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ -3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Ֆակտորացրեք x-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-5=0-ն և x-3=0-ն։

$$x=5 x=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-8x+15=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -8-ը b-ով և 15-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

-8-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 15:

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2}$$

Գումարեք 64 -60-ին:

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Հանեք 4-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2}$$

-8 թվի հակադրությունը 8 է:

$$x=\frac{8±2}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{8±2}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 8 2-ին:

$$x=\frac{10}{2}$$

Բաժանեք 10-ը 2-ի վրա:

$$x=5$$

Այժմ լուծել x=\frac{8±2}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2 8-ից:

$$x=\frac{6}{2}$$

Բաժանեք 6-ը 2-ի վրա:

$$x=3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=5 x=3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-8x+15=0$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-8x+15-15=-15$$

Հանելով 15 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-8x=-15$$

Բաժանեք -8-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -4-ը: Ապա գումարեք -4-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

-4-ի քառակուսի:

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Գումարեք -15 16-ին:

$$x^{2}-8x+16=1$$

Գործոն x^{2}-8x+16: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Պարզեցնել:

$$x-4=1 x-4=-1$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$x=5 x=3$$