Լուծեք x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-3$$

$$x=10$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-7x-30-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-7 ab=-30$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -30 է։

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -7 գումար։

$$a=-10 b=3$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-10=0-ն և x+3=0-ն։

$$x=10 x=-3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-30։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -30 է։

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -7 գումար։

$$a=-10 b=3$$

Նորից գրեք x^{2}-7x-30-ը \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Ֆակտորացրեք x-10 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-10=0-ն և x+3=0-ն։

$$x=10 x=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-7x-30=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -7-ը b-ով և -30-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

-7-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -30:

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Գումարեք 49 120-ին:

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Հանեք 169-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

-7 թվի հակադրությունը 7 է:

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{7±13}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 7 13-ին:

$$x=\frac{20}{2}$$

Բաժանեք 20-ը 2-ի վրա:

$$x=10$$

Այժմ լուծել x=\frac{7±13}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 13 7-ից:

$$x=-\frac{6}{2}$$

Բաժանեք -6-ը 2-ի վրա:

$$x=-3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=10 x=-3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-7x-30=0$$

Գումարեք 30 հավասարման երկու կողմին:

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Հանելով -30 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Հանեք -30 0-ից:

$$x^{2}-7x=30$$

Բաժանեք -7-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{7}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{7}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{7}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Գումարեք 30 \frac{49}{4}-ին:

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Գործոն x^{2}-7x+\frac{49}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Գումարեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=10 x=-3$$