Լուծեք x^2-4x-21=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 21 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-3$$

$$x=7$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-4x-21-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-4 ab=-21$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -21 է։

$$1,-21 3,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -4 գումար։

$$a=-7 b=3$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x+3=0-ն։

$$x=7 x=-3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-21։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -21 է։

$$1,-21 3,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -4 գումար։

$$a=-7 b=3$$

Նորից գրեք x^{2}-4x-21-ը \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x+3=0-ն։

$$x=7 x=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-4x-21=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -4-ը b-ով և -21-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

-4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -21:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2}$$

Գումարեք 16 84-ին:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Հանեք 100-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2}$$

-4 թվի հակադրությունը 4 է:

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±10}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 4 10-ին:

$$x=\frac{14}{2}$$

Բաժանեք 14-ը 2-ի վրա:

$$x=7$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±10}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 10 4-ից:

$$x=-\frac{6}{2}$$

Բաժանեք -6-ը 2-ի վրա:

$$x=-3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=7 x=-3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-4x-21=0$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$x^{2}-4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Հանելով -21 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-4x=-\left(-21\right)$$

Հանեք -21 0-ից:

$$x^{2}-4x=21$$

Բաժանեք -4-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -2-ը: Ապա գումարեք -2-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

-2-ի քառակուսի:

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Գումարեք 21 4-ին:

$$x^{2}-4x+4=25$$

Գործոն x^{2}-4x+4: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Պարզեցնել:

$$x-2=5 x-2=-5$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$x=7 x=-3$$