Լուծեք x^2-15x+120=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 120 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}\approx 7.5+7.984359711i$$

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}\approx 7.5-7.984359711i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-15x+120=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -15-ը b-ով և 120-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 120}}{2}$$

-15-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 120}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 120:

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-480}}{2}$$

Գումարեք 225 -480-ին:

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-255}}{2}$$

Հանեք -255-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{255}i}{2}$$

-15 թվի հակադրությունը 15 է:

$$x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 15 i\sqrt{255}-ին:

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{255} 15-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-15x+120=0$$

Հանեք 120 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-15x+120-120=-120$$

Հանելով 120 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-15x=-120$$

Բաժանեք -15-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{15}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{15}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{15}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-120+\frac{225}{4}$$

Գումարեք -120 \frac{225}{4}-ին:

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{255}{4}$$

Գործոն x^{2}-15x+\frac{225}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{255}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{255}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{255}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{255}i}{2}$$

Գումարեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$