Լուծեք x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=6$$

$$x=7$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-13x+42-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-13 ab=42$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 42 է։

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -13 գումար։

$$a=-7 b=-6$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x-6=0-ն։

$$x=7 x=6$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+42։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 42 է։

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -13 գումար։

$$a=-7 b=-6$$

Նորից գրեք x^{2}-13x+42-ը \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ -6-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x-6=0-ն։

$$x=7 x=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-13x+42=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -13-ը b-ով և 42-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

-13-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 42:

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Գումարեք 169 -168-ին:

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Հանեք 1-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 թվի հակադրությունը 13 է:

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{13±1}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 13 1-ին:

$$x=\frac{14}{2}$$

Բաժանեք 14-ը 2-ի վրա:

$$x=7$$

Այժմ լուծել x=\frac{13±1}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 1 13-ից:

$$x=\frac{12}{2}$$

Բաժանեք 12-ը 2-ի վրա:

$$x=6$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=7 x=6$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-13x+42=0$$

Հանեք 42 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Հանելով 42 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-13x=-42$$

Բաժանեք -13-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{13}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{13}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{13}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Գումարեք -42 \frac{169}{4}-ին:

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Գործոն x^{2}-13x+\frac{169}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Գումարեք \frac{13}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=7 x=6$$