Լուծեք x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=4$$

$$x=7$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-11x+28-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-11 ab=28$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 28 է։

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -11 գումար։

$$a=-7 b=-4$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x-4=0-ն։

$$x=7 x=4$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+28։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 28 է։

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -11 գումար։

$$a=-7 b=-4$$

Նորից գրեք x^{2}-11x+28-ը \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ -4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-7=0-ն և x-4=0-ն։

$$x=7 x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-11x+28=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -11-ը b-ով և 28-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

-11-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 28:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Գումարեք 121 -112-ին:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Հանեք 9-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

-11 թվի հակադրությունը 11 է:

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{11±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 11 3-ին:

$$x=\frac{14}{2}$$

Բաժանեք 14-ը 2-ի վրա:

$$x=7$$

Այժմ լուծել x=\frac{11±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 3 11-ից:

$$x=\frac{8}{2}$$

Բաժանեք 8-ը 2-ի վրա:

$$x=4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=7 x=4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-11x+28=0$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Հանելով 28 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-11x=-28$$

Բաժանեք -11-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{11}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{11}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{11}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Գումարեք -28 \frac{121}{4}-ին:

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Գործոն x^{2}-11x+\frac{121}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Գումարեք \frac{11}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=7 x=4$$