Լուծեք x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-7$$

$$x=6$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+x-42-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=1 ab=-42$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -42 է։

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 1 գումար։

$$a=-6 b=7$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-6=0-ն և x+7=0-ն։

$$x=6 x=-7$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-42։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -42 է։

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 1 գումար։

$$a=-6 b=7$$

Նորից գրեք x^{2}+x-42-ը \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 7-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Ֆակտորացրեք x-6 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-6=0-ն և x+7=0-ն։

$$x=6 x=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+x-42=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 1-ը b-ով և -42-ը c-ով:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

1-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -42:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Գումարեք 1 168-ին:

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Հանեք 169-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±13}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -1 13-ին:

$$x=\frac{12}{2}$$

Բաժանեք 12-ը 2-ի վրա:

$$x=6$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±13}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 13 -1-ից:

$$x=-\frac{14}{2}$$

Բաժանեք -14-ը 2-ի վրա:

$$x=-7$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=6 x=-7$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+x-42=0$$

Գումարեք 42 հավասարման երկու կողմին:

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Հանելով -42 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

Հանեք -42 0-ից:

$$x^{2}+x=42$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 42 \frac{1}{4}-ին:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Գործոն x^{2}+x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=6 x=-7$$