Լուծեք x^2+x+1=0

$$x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 1-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

1-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Գումարեք 1 -4-ին:

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Հանեք -3-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -1 i\sqrt{3}-ին:

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{3} -1-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+x=-1$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Գումարեք -1 \frac{1}{4}-ին:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Գործոն x^{2}+x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$