Լուծեք x^2+x+1+11/x^2+x-1=14

$$x ^ { 2 } + x + 1 + \frac { 11 } { x ^ { 2 } + x - 1 } = 14$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-2$$

$$x=1$$

$$x=3$$

$$x=-4$$

Լուծման քայլերը

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը \left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)-ով:

$$\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ը x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} և 5-ով և ստացեք -\frac{5}{4}:

$$\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Գումարեք -\frac{5}{4} և \frac{1}{4} և ստացեք -1:

$$\left(x^{2}+x-1\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x^{2}+x-1 x^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ը x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} և 5-ով և ստացեք -\frac{5}{4}:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Գումարեք -\frac{5}{4} և \frac{1}{4} և ստացեք -1:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-1\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x^{2}+x-1 x-ով բազմապատկելու համար:

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+x^{3}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Համակցեք x^{3} և x^{3} և ստացեք 2x^{3}:

$$x^{4}+2x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Համակցեք -x^{2} և x^{2} և ստացեք 0:

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ը x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} և 5-ով և ստացեք -\frac{5}{4}:

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Գումարեք -\frac{5}{4} և \frac{1}{4} և ստացեք -1:

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Համակցեք -x և x և ստացեք 0:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Գումարեք -1 և 11 և ստացեք 10:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 14 x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=\left(14x+7\sqrt{5}+7\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 14x+7\sqrt{5}+7-ը x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{7}{2}$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\times 5+\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{2} և 5-ով և ստացեք -\frac{35}{2}:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{35}{2}+\frac{7}{2}$$

Գումարեք -\frac{35}{2} և \frac{7}{2} և ստացեք -14:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-14$$

Հանեք 14x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10-14x^{2}=14x-14$$

Համակցեք x^{2} և -14x^{2} և ստացեք -13x^{2}:

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10=14x-14$$

Հանեք 14x երկու կողմերից:

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x=-14$$

Հավելել 14-ը երկու կողմերում:

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x+14=0$$

Գումարեք 10 և 14 և ստացեք 24:

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+24-14x=0$$

Վերադասավորեք հավասարումը՝ բերելով այն ստանդարտ ձևի: Դասավորեք անդամները բարձրից ցածր:

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է 24 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 1 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=1$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24 x-1-ի և ստացեք x^{3}+3x^{2}-10x-24: Լուծեք հավասարումը, որտեղ արդյունքը հավասարվում է 0:

$$x^{3}+3x^{2}-10x-24=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է -24 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 1 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=-2$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք x^{3}+3x^{2}-10x-24 x+2-ի և ստացեք x^{2}+x-12: Լուծեք հավասարումը, որտեղ արդյունքը հավասարվում է 0:

$$x^{2}+x-12=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 1-ը b-ով և -12-ը c-ով:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-12\right)}}{2}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$x=\frac{-1±7}{2}$$

Լուծեք x^{2}+x-12=0 հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$x=-4 x=3$$

Թվարկեք բոլոր գտնված լուծումները:

$$x=1 x=-2 x=-4 x=3$$