Լուծեք x^2+7x+15=5

$$x ^ { 2 } + 7 x + 15 = 5$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$x^{2}+7x+15-5=0$$

Հանեք 5 15-ից և ստացեք 10:

$$x^{2}+7x+10=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+7x+10-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=7 ab=10$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 10 է։

$$1,10 2,5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+10=11 2+5=7$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 7 գումար։

$$a=2 b=5$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+2=0-ն և x+5=0-ն։

$$x=-2 x=-5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$x^{2}+7x+15-5=0$$

Հանեք 5 15-ից և ստացեք 10:

$$x^{2}+7x+10=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+10։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 10 է։

$$1,10 2,5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+10=11 2+5=7$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 7 գումար։

$$a=2 b=5$$

Նորից գրեք x^{2}+7x+10-ը \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Ֆակտորացրեք x+2 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+2=0-ն և x+5=0-ն։

$$x=-2 x=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+7x+15=5$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+7x+15-5=5-5$$

Հանելով 5 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+7x+15-5=0$$

Հանեք 5 15-ից:

$$x^{2}+7x+10=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 7-ը b-ով և 10-ը c-ով:

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10}}{2}$$

7-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 10:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2}$$

Գումարեք 49 -40-ին:

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2}$$

Հանեք 9-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -7 3-ին:

$$x=-\frac{4}{2}$$

Բաժանեք -4-ը 2-ի վրա:

$$x=-2$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 3 -7-ից:

$$x=-\frac{10}{2}$$

Բաժանեք -10-ը 2-ի վրա:

$$x=-5$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-2 x=-5$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+7x+15=5$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+7x+15-15=5-15$$

Հանելով 15 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+7x=5-15$$

Հանեք 15 5-ից:

$$x^{2}+7x=-10$$

Բաժանեք 7-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Գումարեք -10 \frac{49}{4}-ին:

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Գործոն x^{2}+7x+\frac{49}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Հանեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2 x=-5$$