Լուծեք x^2+5x-24=0

$$x ^ { 2 } + 5 x - 24 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-8$$

$$x=3$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+5x-24-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=5 ab=-24$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -24 է։

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 5 գումար։

$$a=-3 b=8$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-3=0-ն և x+8=0-ն։

$$x=3 x=-8$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-24։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -24 է։

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 5 գումար։

$$a=-3 b=8$$

Նորից գրեք x^{2}+5x-24-ը \left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 8-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Ֆակտորացրեք x-3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-3=0-ն և x+8=0-ն։

$$x=3 x=-8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+5x-24=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 5-ը b-ով և -24-ը c-ով:

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -24:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

Գումարեք 25 96-ին:

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

Հանեք 121-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-5±11}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±11}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -5 11-ին:

$$x=\frac{6}{2}$$

Բաժանեք 6-ը 2-ի վրա:

$$x=3$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±11}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 11 -5-ից:

$$x=-\frac{16}{2}$$

Բաժանեք -16-ը 2-ի վրա:

$$x=-8$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=3 x=-8$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+5x-24=0$$

Գումարեք 24 հավասարման երկու կողմին:

$$x^{2}+5x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Հանելով -24 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+5x=-\left(-24\right)$$

Հանեք -24 0-ից:

$$x^{2}+5x=24$$

Բաժանեք 5-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{5}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{5}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{5}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Գումարեք 24 \frac{25}{4}-ին:

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Գործոն x^{2}+5x+\frac{25}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=3 x=-8$$