Լուծեք x^2+5x+14=0

$$x ^ { 2 } + 5 x + 14 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}\approx -2.5+2.783882181i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}\approx -2.5-2.783882181i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+5x+14=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 5-ը b-ով և 14-ը c-ով:

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 14}}{2}$$

5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 14}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 14:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-56}}{2}$$

Գումարեք 25 -56-ին:

$$x=\frac{-5±\sqrt{-31}}{2}$$

Հանեք -31-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -5 i\sqrt{31}-ին:

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{31} -5-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+5x+14=0$$

Հանեք 14 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+5x+14-14=-14$$

Հանելով 14 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+5x=-14$$

Բաժանեք 5-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{5}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{5}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{5}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-14+\frac{25}{4}$$

Գումարեք -14 \frac{25}{4}-ին:

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{31}{4}$$

Գործոն x^{2}+5x+\frac{25}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$