Լուծեք x^2+20x+75=0

$$x ^ { 2 } + 20 x + 75 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-15$$

$$x=-5$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+20x+75-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=20 ab=75$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 75 է։

$$1,75 3,25 5,15$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 20 գումար։

$$a=5 b=15$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+5=0-ն և x+15=0-ն։

$$x=-5 x=-15$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+75։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 75 է։

$$1,75 3,25 5,15$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 20 գումար։

$$a=5 b=15$$

Նորից գրեք x^{2}+20x+75-ը \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 15-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

Ֆակտորացրեք x+5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+5=0-ն և x+15=0-ն։

$$x=-5 x=-15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+20x+75=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 20-ը b-ով և 75-ը c-ով:

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

20-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 75:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

Գումարեք 400 -300-ին:

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

Հանեք 100-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±10}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -20 10-ին:

$$x=-\frac{10}{2}$$

Բաժանեք -10-ը 2-ի վրա:

$$x=-5$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±10}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 10 -20-ից:

$$x=-\frac{30}{2}$$

Բաժանեք -30-ը 2-ի վրա:

$$x=-15$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-5 x=-15$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+20x+75=0$$

Հանեք 75 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+20x+75-75=-75$$

Հանելով 75 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+20x=-75$$

Բաժանեք 20-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք 10-ը: Ապա գումարեք 10-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

10-ի քառակուսի:

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

Գումարեք -75 100-ին:

$$x^{2}+20x+100=25$$

Գործոն x^{2}+20x+100: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Պարզեցնել:

$$x+10=5 x+10=-5$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$x=-5 x=-15$$