Լուծեք x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$9x-2y=12$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+2y=12$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2y+12$$

Փոխարինեք -2y+12-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x-2y=12:

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -2y+12:

$$-18y+108-2y=12$$

Գումարեք -18y -2y-ին:

$$-20y+108=12$$

Հանեք 108 հավասարման երկու կողմից:

$$-20y=-96$$

Բաժանեք երկու կողմերը -20-ի:

$$y=\frac{24}{5}$$

Փոխարինեք \frac{24}{5}-ը y-ով x=-2y+12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{24}{5}:

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

Գումարեք 12 -\frac{48}{5}-ին:

$$x=\frac{12}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$9x-2y=12$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$9x-2y=12$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

Պարզեցնել:

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

Հանեք 9x-2y=12 9x+18y=108-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

Գումարեք 9x -9x-ին: 9x-ը և -9x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18y+2y=108-12$$

Գումարեք 18y 2y-ին:

$$20y=108-12$$

Գումարեք 108 -12-ին:

$$20y=96$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$y=\frac{24}{5}$$

Փոխարինեք \frac{24}{5}-ը y-ով 9x-2y=12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{24}{5}:

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

Գումարեք \frac{48}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$9x=\frac{108}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{12}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$