Լուծեք n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Լուծել n-ի համար

$$n=-14$$

$$n=15$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք n^{2}-n-210-ը՝ օգտագործելով n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=-210$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -210 է։

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -1 գումար։

$$a=-15 b=14$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(n+a\right)\left(n+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-15=0-ն և n+14=0-ն։

$$n=15 n=-14$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ n^{2}+an+bn-210։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -210 է։

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -1 գումար։

$$a=-15 b=14$$

Նորից գրեք n^{2}-n-210-ը \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)-ի տեսքով:

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Դուրս բերել n-ը առաջին իսկ 14-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Ֆակտորացրեք n-15 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-15=0-ն և n+14=0-ն։

$$n=15 n=-14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$n^{2}-n-210=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -1-ը b-ով և -210-ը c-ով:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -210:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Գումարեք 1 840-ին:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Հանեք 841-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 թվի հակադրությունը 1 է:

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Այժմ լուծել n=\frac{1±29}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 1 29-ին:

$$n=\frac{30}{2}$$

Բաժանեք 30-ը 2-ի վրա:

$$n=15$$

Այժմ լուծել n=\frac{1±29}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 29 1-ից:

$$n=-\frac{28}{2}$$

Բաժանեք -28-ը 2-ի վրա:

$$n=-14$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=15 n=-14$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$n^{2}-n-210=0$$

Գումարեք 210 հավասարման երկու կողմին:

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Հանելով -210 իրենից՝ մնում է 0:

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Հանեք -210 0-ից:

$$n^{2}-n=210$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 210 \frac{1}{4}-ին:

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Գործոն n^{2}-n+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$n=15 n=-14$$