Լուծեք n^2-5n=24

$$n ^ { 2 } - 5 n = 24$$

Լուծել n-ի համար

$$n=-3$$

$$n=8$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 24 երկու կողմերից:

$$n^{2}-5n-24=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք n^{2}-5n-24-ը՝ օգտագործելով n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-5 ab=-24$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -24 է։

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -5 գումար։

$$a=-8 b=3$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(n+a\right)\left(n+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(n-8\right)\left(n+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-8=0-ն և n+3=0-ն։

$$n=8 n=-3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 24 երկու կողմերից:

$$n^{2}-5n-24=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ n^{2}+an+bn-24։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -24 է։

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -5 գումար։

$$a=-8 b=3$$

Նորից գրեք n^{2}-5n-24-ը \left(n^{2}-8n\right)+\left(3n-24\right)-ի տեսքով:

$$\left(n^{2}-8n\right)+\left(3n-24\right)$$

Դուրս բերել n-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$n\left(n-8\right)+3\left(n-8\right)$$

Ֆակտորացրեք n-8 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(n-8\right)\left(n+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-8=0-ն և n+3=0-ն։

$$n=8 n=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$n^{2}-5n=24$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$n^{2}-5n-24=24-24$$

Հանելով 24 իրենից՝ մնում է 0:

$$n^{2}-5n-24=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -5-ը b-ով և -24-ը c-ով:

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

-5-ի քառակուսի:

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -24:

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2}$$

Գումարեք 25 96-ին:

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Հանեք 121-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-\left(-5\right)±11}{2}$$

-5 թվի հակադրությունը 5 է:

$$n=\frac{5±11}{2}$$

Այժմ լուծել n=\frac{5±11}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 5 11-ին:

$$n=\frac{16}{2}$$

Բաժանեք 16-ը 2-ի վրա:

$$n=8$$

Այժմ լուծել n=\frac{5±11}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 11 5-ից:

$$n=-\frac{6}{2}$$

Բաժանեք -6-ը 2-ի վրա:

$$n=-3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=8 n=-3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$n^{2}-5n=24$$

Բաժանեք -5-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}-5n+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}-5n+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Գումարեք 24 \frac{25}{4}-ին:

$$n^{2}-5n+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Գործոն n^{2}-5n+\frac{25}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(n-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$n-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} n-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$n=8 n=-3$$