Լուծեք n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Լուծել n-ի համար

$$n=-4$$

$$n=15$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք n^{2}-11n-60-ը՝ օգտագործելով n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-11 ab=-60$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -60 է։

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -11 գումար։

$$a=-15 b=4$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(n+a\right)\left(n+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-15=0-ն և n+4=0-ն։

$$n=15 n=-4$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ n^{2}+an+bn-60։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -60 է։

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -11 գումար։

$$a=-15 b=4$$

Նորից գրեք n^{2}-11n-60-ը \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)-ի տեսքով:

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Դուրս բերել n-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Ֆակտորացրեք n-15 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-15=0-ն և n+4=0-ն։

$$n=15 n=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$n^{2}-11n-60=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -11-ը b-ով և -60-ը c-ով:

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11-ի քառակուսի:

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -60:

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Գումարեք 121 240-ին:

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Հանեք 361-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 թվի հակադրությունը 11 է:

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Այժմ լուծել n=\frac{11±19}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 11 19-ին:

$$n=\frac{30}{2}$$

Բաժանեք 30-ը 2-ի վրա:

$$n=15$$

Այժմ լուծել n=\frac{11±19}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 19 11-ից:

$$n=-\frac{8}{2}$$

Բաժանեք -8-ը 2-ի վրա:

$$n=-4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=15 n=-4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$n^{2}-11n-60=0$$

Գումարեք 60 հավասարման երկու կողմին:

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Հանելով -60 իրենից՝ մնում է 0:

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Հանեք -60 0-ից:

$$n^{2}-11n=60$$

Բաժանեք -11-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{11}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{11}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{11}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Գումարեք 60 \frac{121}{4}-ին:

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

n^{2}-11n+\frac{121}{4} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Գումարեք \frac{11}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$n=15 n=-4$$