Լուծեք n^2+5n=500

$$n ^ { 2 } + 5 n = 500$$

Լուծել n-ի համար

$$n=-25$$

$$n=20$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 500 երկու կողմերից:

$$n^{2}+5n-500=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք n^{2}+5n-500-ը՝ օգտագործելով n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=5 ab=-500$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -500 է։

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 5 գումար։

$$a=-20 b=25$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(n+a\right)\left(n+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-20=0-ն և n+25=0-ն։

$$n=20 n=-25$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 500 երկու կողմերից:

$$n^{2}+5n-500=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ n^{2}+an+bn-500։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=5 ab=1\left(-500\right)=-500$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -500 է։

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 5 գումար։

$$a=-20 b=25$$

Նորից գրեք n^{2}+5n-500-ը \left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)-ի տեսքով:

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)$$

Դուրս բերել n-ը առաջին իսկ 25-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$n\left(n-20\right)+25\left(n-20\right)$$

Ֆակտորացրեք n-20 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-20=0-ն և n+25=0-ն։

$$n=20 n=-25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$n^{2}+5n=500$$

Հանեք 500 հավասարման երկու կողմից:

$$n^{2}+5n-500=500-500$$

Հանելով 500 իրենից՝ մնում է 0:

$$n^{2}+5n-500=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 5-ը b-ով և -500-ը c-ով:

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-500\right)}}{2}$$

5-ի քառակուսի:

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-500\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -500:

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+2000}}{2}$$

Գումարեք 25 2000-ին:

$$n=\frac{-5±\sqrt{2025}}{2}$$

Հանեք 2025-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-5±45}{2}$$

Այժմ լուծել n=\frac{-5±45}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -5 45-ին:

$$n=\frac{40}{2}$$

Բաժանեք 40-ը 2-ի վրա:

$$n=20$$

Այժմ լուծել n=\frac{-5±45}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 45 -5-ից:

$$n=-\frac{50}{2}$$

Բաժանեք -50-ը 2-ի վրա:

$$n=-25$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=20 n=-25$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$n^{2}+5n=500$$

Բաժանեք 5-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{5}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{5}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}+5n+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{5}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

Գումարեք 500 \frac{25}{4}-ին:

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

Գործոն n^{2}+5n+\frac{25}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$n+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} n+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$n=20 n=-25$$