Լուծեք f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Տարբերակել վերագրած y-ը

$$\cos(y)$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է ածանցյալի սահմանումը

f\left(x\right) ֆունկցիայի դեպքում ածանցյալը \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}-ի սահմանագիծն է, երբ h-ը անցնում է 0-ի, եթե այդ սահմանագիծն առկա է:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Օգտագործեք սինուսի գումարման բանաձևը:

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Բաժանեք \sin(y) բազմապատիկի վրա:

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Վերագրեք սահմանագիծը:

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Օգտագործեք այն փաստը, որ y-ը հաստատուն է սահմանագծերը հաշվարկելիս, երբ h-ը անցնում է 0-ի:

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} սահմանագիծը 1 է:

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} սահմանագիծը գնահատելու համար նախ բազմապատկեք համարիչն ու հայտարարը \cos(h)+1-ով:

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Բազմապատկեք \cos(h)+1 անգամ \cos(h)-1:

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Օգտագործեք Պյութագորասի բանաձևերը:

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Վերագրեք սահմանագիծը:

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} սահմանագիծը 1 է:

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Օգտագործեք այն փաստը, որ \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}-ը շարունակական է 0-ի դեպքում:

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Փոխարինեք 0 արժեքը \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y) արտահայտությամբ:

$$\cos(y)$$

Գնահատել

$$\sin(y)$$