Լուծեք f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Գնահատել

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Լուծման քայլերը

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Քանի որ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int t^{3}\mathrm{d}t-ը \frac{t^{4}}{4}-ով:

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Քանի որ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int t^{2}\mathrm{d}t-ը \frac{t^{3}}{3}-ով: Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{t^{3}}{3}:

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Գտեք 1-ի ինտեգրալը՝ օգտագործելով ընդհանուր ինտեգրալների \int a\mathrm{d}t=at կանոնի աղյուսակը։

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Պարզեցնել:

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$x^{3}+2x^{2}+1$$