Լուծեք f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Գնահատել

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Լուծման քայլերը

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Քանի որ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int t^{2}\mathrm{d}t-ը \frac{t^{3}}{3}-ով:

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Քանի որ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int t\mathrm{d}t-ը \frac{t^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{t^{2}}{2}:

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$x\left(x-1\right)$$