Լուծեք 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Լուծել n-ի համար

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 3n^{2} երկու կողմերից:

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Համակցեք 9n^{2} և -3n^{2} և ստացեք 6n^{2}:

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 6n^{2}+an+bn+20։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 120 է։

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -23 գումար։

$$a=-15 b=-8$$

Նորից գրեք 6n^{2}-23n+20-ը \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)-ի տեսքով:

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Դուրս բերել 3n-ը առաջին իսկ -4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Ֆակտորացրեք 2n-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 2n-5=0-ն և 3n-4=0-ն։

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Հանեք 3n^{2} երկու կողմերից:

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Համակցեք 9n^{2} և -3n^{2} և ստացեք 6n^{2}:

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 6-ը a-ով, -23-ը b-ով և 20-ը c-ով:

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23-ի քառակուսի:

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 6:

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Բազմապատկեք -24 անգամ 20:

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Գումարեք 529 -480-ին:

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Հանեք 49-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 թվի հակադրությունը 23 է:

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 6:

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Այժմ լուծել n=\frac{23±7}{12} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 23 7-ին:

$$n=\frac{30}{12}$$

Նվազեցնել \frac{30}{12} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 6-ը:

$$n=\frac{5}{2}$$

Այժմ լուծել n=\frac{23±7}{12} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 7 23-ից:

$$n=\frac{16}{12}$$

Նվազեցնել \frac{16}{12} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$n=\frac{4}{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Հանեք 3n^{2} երկու կողմերից:

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Համակցեք 9n^{2} և -3n^{2} և ստացեք 6n^{2}:

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Հանեք 20 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$6n^{2}-23n=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Բաժանելով 6-ի՝ հետարկվում է 6-ով բազմապատկումը:

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Նվազեցնել \frac{-20}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Բաժանեք -\frac{23}{6}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{23}{12}-ը: Ապա գումարեք -\frac{23}{12}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{23}{12}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Գումարեք -\frac{10}{3} \frac{529}{144}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Գործոն n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Պարզեցնել:

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Գումարեք \frac{23}{12} հավասարման երկու կողմին:

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$