Լուծեք 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 15x^{2}+ax+bx-2։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -30 է։

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 7 գումար։

$$a=-3 b=10$$

Նորից գրեք 15x^{2}+7x-2-ը \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)-ի տեսքով:

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Դուրս բերել 3x-ը առաջին իսկ 2-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք 5x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 5x-1=0-ն և 3x+2=0-ն։

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 75-ը a-ով, 35-ը b-ով և -10-ը c-ով:

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

35-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 75:

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Բազմապատկեք -300 անգամ -10:

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Գումարեք 1225 3000-ին:

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Հանեք 4225-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 75:

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-35±65}{150} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -35 65-ին:

$$x=\frac{30}{150}$$

Նվազեցնել \frac{30}{150} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 30-ը:

$$x=\frac{1}{5}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-35±65}{150} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 65 -35-ից:

$$x=-\frac{100}{150}$$

Նվազեցնել \frac{-100}{150} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 50-ը:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Հանելով -10 իրենից՝ մնում է 0:

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Հանեք -10 0-ից:

$$75x^{2}+35x=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 75-ի:

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Բաժանելով 75-ի՝ հետարկվում է 75-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Նվազեցնել \frac{35}{75} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 5-ը:

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Նվազեցնել \frac{10}{75} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 5-ը:

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Բաժանեք \frac{7}{15}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{30}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{30}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{30}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Գումարեք \frac{2}{15} \frac{49}{900}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Հանեք \frac{7}{30} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$