Լուծեք 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 7-ը a-ով, 4-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 7:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Գումարեք 16 -28-ին:

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Հանեք -12-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 7:

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -4 2i\sqrt{3}-ին:

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Բաժանեք -4+2i\sqrt{3}-ը 14-ի վրա:

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2i\sqrt{3} -4-ից:

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Բաժանեք -4-2i\sqrt{3}-ը 14-ի վրա:

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$7x^{2}+4x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Բաժանելով 7-ի՝ հետարկվում է 7-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Բաժանեք \frac{4}{7}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{2}{7}-ը: Ապա գումարեք \frac{2}{7}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{2}{7}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Գումարեք -\frac{1}{7} \frac{4}{49}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Հանեք \frac{2}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$