Լուծեք 6x-9y=-1,-2x+y=1

$$6 x - 9 y = - 1 , - 2 x + y = 1$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x-9y=-1$$

Գումարեք 9y հավասարման երկու կողմին:

$$6x=9y-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(9y-1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ 9y-1:

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}-\frac{1}{6}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+y=1:

$$-2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}\right)+y=1$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{3y}{2}-\frac{1}{6}:

$$-3y+\frac{1}{3}+y=1$$

Գումարեք -3y y-ին:

$$-2y+\frac{1}{3}=1$$

Հանեք \frac{1}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=\frac{2}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -\frac{1}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$$

Գումարեք -\frac{1}{6} -\frac{1}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&-\frac{-9}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

6x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$-2\times 6x-2\left(-9\right)y=-2\left(-1\right),6\left(-2\right)x+6y=6$$

Պարզեցնել:

$$-12x+18y=2,-12x+6y=6$$

Հանեք -12x+6y=6 -12x+18y=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-12x+12x+18y-6y=2-6$$

Գումարեք -12x 12x-ին: -12x-ը և 12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18y-6y=2-6$$

Գումարեք 18y -6y-ին:

$$12y=2-6$$

Գումարեք 2 -6-ին:

$$12y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով -2x+y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-\frac{1}{3}=1$$

Գումարեք \frac{1}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=\frac{4}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$