Լուծեք 6x+3y=-15text{and}-4x-3y=25

$$6 x + 3 y = - 15 \text { and } - 4 x - 3 y = 25$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+3y=-15,-4x-3y=25$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+3y=-15$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-3y-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y-15\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -3y-15:

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y-5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x-3y=25:

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}\right)-3y=25$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{-y-5}{2}:

$$2y+10-3y=25$$

Գումարեք 2y -3y-ին:

$$-y+10=25$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-15$$

Փոխարինեք -15-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-15\right)-\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -15:

$$x=\frac{15-5}{2}$$

Գումարեք -\frac{5}{2} \frac{15}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+3y=-15,-4x-3y=25$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-15\right)+\frac{1}{2}\times 25\\-\frac{2}{3}\left(-15\right)-25\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+3y=-15,-4x-3y=25$$

6x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$-4\times 6x-4\times 3y=-4\left(-15\right),6\left(-4\right)x+6\left(-3\right)y=6\times 25$$

Պարզեցնել:

$$-24x-12y=60,-24x-18y=150$$

Հանեք -24x-18y=150 -24x-12y=60-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-24x+24x-12y+18y=60-150$$

Գումարեք -24x 24x-ին: -24x-ը և 24x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y+18y=60-150$$

Գումարեք -12y 18y-ին:

$$6y=60-150$$

Գումարեք 60 -150-ին:

$$6y=-90$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=-15$$

Փոխարինեք -15-ը y-ով -4x-3y=25-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x-3\left(-15\right)=25$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -15:

$$-4x+45=25$$

Հանեք 45 հավասարման երկու կողմից:

$$-4x=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-15$$