Լուծեք 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 5-ը a-ով, 3-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

3-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 5:

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Գումարեք 9 -20-ին:

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Հանեք -11-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 5:

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -3 i\sqrt{11}-ին:

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{11} -3-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$5x^{2}+3x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Բաժանելով 5-ի՝ հետարկվում է 5-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Բաժանեք \frac{3}{5}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{3}{10}-ը: Ապա գումարեք \frac{3}{10}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{3}{10}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Գումարեք -\frac{1}{5} \frac{9}{100}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Հանեք \frac{3}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$