Լուծեք 48x^2+22x-15=0

$$48 { x }^{ 2 } +22x-15=0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 48x^{2}+ax+bx-15։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=22 ab=48\left(-15\right)=-720$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -720 է։

$$-1,720 -2,360 -3,240 -4,180 -5,144 -6,120 -8,90 -9,80 -10,72 -12,60 -15,48 -16,45 -18,40 -20,36 -24,30$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+720=719 -2+360=358 -3+240=237 -4+180=176 -5+144=139 -6+120=114 -8+90=82 -9+80=71 -10+72=62 -12+60=48 -15+48=33 -16+45=29 -18+40=22 -20+36=16 -24+30=6$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 22 գումար։

$$a=-18 b=40$$

Նորից գրեք 48x^{2}+22x-15-ը \left(48x^{2}-18x\right)+\left(40x-15\right)-ի տեսքով:

$$\left(48x^{2}-18x\right)+\left(40x-15\right)$$

Դուրս բերել 6x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$6x\left(8x-3\right)+5\left(8x-3\right)$$

Ֆակտորացրեք 8x-3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(8x-3\right)\left(6x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 8x-3=0-ն և 6x+5=0-ն։

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$48x^{2}+22x-15=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 48-ը a-ով, 22-ը b-ով և -15-ը c-ով:

$$x=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 48\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

22-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-4\times 48\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 48:

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-192\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

Բազմապատկեք -192 անգամ -15:

$$x=\frac{-22±\sqrt{484+2880}}{2\times 48}$$

Գումարեք 484 2880-ին:

$$x=\frac{-22±\sqrt{3364}}{2\times 48}$$

Հանեք 3364-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-22±58}{2\times 48}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 48:

$$x=\frac{-22±58}{96}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-22±58}{96} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -22 58-ին:

$$x=\frac{36}{96}$$

Նվազեցնել \frac{36}{96} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 12-ը:

$$x=\frac{3}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-22±58}{96} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 58 -22-ից:

$$x=-\frac{80}{96}$$

Նվազեցնել \frac{-80}{96} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 16-ը:

$$x=-\frac{5}{6}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$48x^{2}+22x-15=0$$

Գումարեք 15 հավասարման երկու կողմին:

$$48x^{2}+22x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Հանելով -15 իրենից՝ մնում է 0:

$$48x^{2}+22x=-\left(-15\right)$$

Հանեք -15 0-ից:

$$48x^{2}+22x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 48-ի:

$$\frac{48x^{2}+22x}{48}=\frac{15}{48}$$

Բաժանելով 48-ի՝ հետարկվում է 48-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{22}{48}x=\frac{15}{48}$$

Նվազեցնել \frac{22}{48} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x^{2}+\frac{11}{24}x=\frac{15}{48}$$

Նվազեցնել \frac{15}{48} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 3-ը:

$$x^{2}+\frac{11}{24}x=\frac{5}{16}$$

Բաժանեք \frac{11}{24}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{11}{48}-ը: Ապա գումարեք \frac{11}{48}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\left(\frac{11}{48}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(\frac{11}{48}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{11}{48}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}=\frac{5}{16}+\frac{121}{2304}$$

Գումարեք \frac{5}{16} \frac{121}{2304}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}=\frac{841}{2304}$$

Գործոն x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{11}{48}\right)^{2}=\frac{841}{2304}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{2304}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{11}{48}=\frac{29}{48} x+\frac{11}{48}=-\frac{29}{48}$$

Հանեք \frac{11}{48} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$