Լուծեք 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 42x^{2}+ax+bx-3։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -126 է։

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -5 գումար։

$$a=-14 b=9$$

Նորից գրեք 42x^{2}-5x-3-ը \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)-ի տեսքով:

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Դուրս բերել 14x-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք 3x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3x-1=0-ն և 14x+3=0-ն։

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 42-ը a-ով, -5-ը b-ով և -3-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 42:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Բազմապատկեք -168 անգամ -3:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Գումարեք 25 504-ին:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Հանեք 529-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 թվի հակադրությունը 5 է:

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 42:

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±23}{84} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 5 23-ին:

$$x=\frac{28}{84}$$

Նվազեցնել \frac{28}{84} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 28-ը:

$$x=\frac{1}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±23}{84} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 23 5-ից:

$$x=-\frac{18}{84}$$

Նվազեցնել \frac{-18}{84} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 6-ը:

$$x=-\frac{3}{14}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Հանելով -3 իրենից՝ մնում է 0:

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Հանեք -3 0-ից:

$$42x^{2}-5x=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 42-ի:

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Բաժանելով 42-ի՝ հետարկվում է 42-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Նվազեցնել \frac{3}{42} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 3-ը:

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Բաժանեք -\frac{5}{42}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{84}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{84}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{84}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Գումարեք \frac{1}{14} \frac{25}{7056}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Գործոն x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Գումարեք \frac{5}{84} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$