Լուծեք 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-5y=-14$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=5y-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 5y-14:

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x+y=-5:

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}:

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Գումարեք \frac{35y}{4} y-ին:

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Գումարեք \frac{49}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{39}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{4} անգամ 2:

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Գումարեք -\frac{7}{2} \frac{5}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

4x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Հանեք 28x+4y=-20 28x-35y=-98-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Գումարեք 28x -28x-ին: 28x-ը և -28x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-35y-4y=-98+20$$

Գումարեք -35y -4y-ին:

$$-39y=-98+20$$

Գումարեք -98 20-ին:

$$-39y=-78$$

Բաժանեք երկու կողմերը -39-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 7x+y=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x+2=-5$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=2$$