Լուծեք 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx+1։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 4 է։

$$-1,-4 -2,-2$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -5 գումար։

$$a=-4 b=-1$$

Նորից գրեք 4x^{2}-5x+1-ը \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Դուրս բերել 4x-ը առաջին իսկ -1-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-1=0-ն և 4x-1=0-ն։

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -5-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Գումարեք 25 -16-ին:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Հանեք 9-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 թվի հակադրությունը 5 է:

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±3}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 5 3-ին:

$$x=\frac{8}{8}$$

Բաժանեք 8-ը 8-ի վրա:

$$x=1$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±3}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 3 5-ից:

$$x=\frac{2}{8}$$

Նվազեցնել \frac{2}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=\frac{1}{4}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-5x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Բաժանեք -\frac{5}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{8}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Գումարեք -\frac{1}{4} \frac{25}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Գործոն x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Գումարեք \frac{5}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$