Լուծեք 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx+1։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 4 է։

$$-1,-4 -2,-2$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -4 գումար։

$$a=-2 b=-2$$

Նորից գրեք 4x^{2}-4x+1-ը \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ -1-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք 2x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Վերագրեք այն որպես երկանդամ քառակուսի:

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Հավասարման լուծումը գտնելու համար լուծեք 2x-1=0։

$$x=\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -4-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Գումարեք 16 -16-ին:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Հանեք 0-ի քառակուսի արմատը:

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

-4 թվի հակադրությունը 4 է:

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{4}{8}$$

Նվազեցնել \frac{4}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=\frac{1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-4x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Բաժանեք -4-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Գումարեք -\frac{1}{4} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

x^{2}-x+\frac{1}{4} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է: Լուծումները նույնն են:

$$x=\frac{1}{2}$$