Լուծեք 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-27։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -108 է։

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -12 գումար։

$$a=-18 b=6$$

Նորից գրեք 4x^{2}-12x-27-ը \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Ֆակտորացրեք 2x-9 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 2x-9=0-ն և 2x+3=0-ն։

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -12-ը b-ով և -27-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -27:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Գումարեք 144 432-ին:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Հանեք 576-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 թվի հակադրությունը 12 է:

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{12±24}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 12 24-ին:

$$x=\frac{36}{8}$$

Նվազեցնել \frac{36}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=\frac{9}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{12±24}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 24 12-ից:

$$x=-\frac{12}{8}$$

Նվազեցնել \frac{-12}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=-\frac{3}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Գումարեք 27 հավասարման երկու կողմին:

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Հանելով -27 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Հանեք -27 0-ից:

$$4x^{2}-12x=27$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Բաժանեք -12-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Բաժանեք -3-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{3}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{3}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{3}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Գումարեք \frac{27}{4} \frac{9}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Գործոն x^{2}-3x+\frac{9}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Գումարեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$