Լուծեք 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Հանեք 16 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Հանելով 16 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Հանեք 16 30-ից:

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -11-ը b-ով և 14-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-11-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ 14:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Գումարեք 121 -224-ին:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Հանեք -103-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 թվի հակադրությունը 11 է:

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 11 i\sqrt{103}-ին:

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք i\sqrt{103} 11-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Հանեք 30 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Հանելով 30 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Հանեք 30 16-ից:

$$4x^{2}-11x=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Նվազեցնել \frac{-14}{4} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Բաժանեք -\frac{11}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{11}{8}-ը: Ապա գումարեք -\frac{11}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{11}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Գումարեք -\frac{7}{2} \frac{121}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} բազմապատիկ: Սովորաբար, երբ x^{2}+bx+c-ը լրիվ քառակուսի է, նրա բազմապատիկը միշտ կարելի է ստանալ հետևյալ ձևով՝ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}:

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Գումարեք \frac{11}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$