Լուծեք 4x^2+7x=1

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0.132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1.882782219$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+7x=1$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+7x-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 7-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

7-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -1:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Գումարեք 49 16-ին:

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -7 \sqrt{65}-ին:

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք \sqrt{65} -7-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+7x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Բաժանեք \frac{7}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{8}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Գումարեք \frac{1}{4} \frac{49}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Գործոն x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Հանեք \frac{7}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$