Լուծեք 4x^2+4x=15

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 15$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 15 երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx-15։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -60 է։

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 4 գումար։

$$a=-6 b=10$$

Նորից գրեք 4x^{2}+4x-15-ը \left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Ֆակտորացրեք 2x-3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 2x-3=0-ն և 2x+5=0-ն։

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+4x=15$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+4x-15=15-15$$

Հանելով 15 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 4-ը b-ով և -15-ը c-ով:

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -15:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Գումարեք 16 240-ին:

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Հանեք 256-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-4±16}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±16}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -4 16-ին:

$$x=\frac{12}{8}$$

Նվազեցնել \frac{12}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=\frac{3}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±16}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 16 -4-ից:

$$x=-\frac{20}{8}$$

Նվազեցնել \frac{-20}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+4x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{15}{4}$$

Բաժանեք 4-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+x=\frac{15}{4}$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Գումարեք \frac{15}{4} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=4$$

Գործոն x^{2}+x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{2}=2 x+\frac{1}{2}=-2$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$