Լուծեք 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 4-ը b-ով և 9-ը c-ով:

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ 9:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Գումարեք 16 -144-ին:

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Հանեք -128-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -4 8i\sqrt{2}-ին:

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Բաժանեք -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}}-ը 8-ի վրա:

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 8i\sqrt{2} -4-ից:

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Բաժանեք -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}}-ը 8-ի վրա:

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Հանելով 9 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+4x=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Բաժանեք 4-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Գումարեք -\frac{9}{4} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Գործոն x^{2}+x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$