Լուծեք 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x^{2}+7x+10=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+10։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 10 է։

$$1,10 2,5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+10=11 2+5=7$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 7 գումար։

$$a=2 b=5$$

Նորից գրեք x^{2}+7x+10-ը \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Ֆակտորացրեք x+2 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+2=0-ն և x+5=0-ն։

$$x=-2 x=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 28-ը b-ով և 40-ը c-ով:

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

28-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ 40:

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Գումարեք 784 -640-ին:

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Հանեք 144-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-28±12}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -28 12-ին:

$$x=-\frac{16}{8}$$

Բաժանեք -16-ը 8-ի վրա:

$$x=-2$$

Այժմ լուծել x=\frac{-28±12}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 12 -28-ից:

$$x=-\frac{40}{8}$$

Բաժանեք -40-ը 8-ի վրա:

$$x=-5$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-2 x=-5$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Հանեք 40 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Հանելով 40 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+28x=-40$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Բաժանեք 28-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Բաժանեք -40-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+7x=-10$$

Բաժանեք 7-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Գումարեք -10 \frac{49}{4}-ին:

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Գործոն x^{2}+7x+\frac{49}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Հանեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2 x=-5$$